絕對值函數的定義

絕對值函數，符號為 |x|，定義為 x 的非負值，即：

```|x| = {x, x ≥ 0-x, x < 0}```

幾何詮釋

在數軸上，絕對值函數的幾何詮釋為：對于一個點 x，|x| 表示從原點到該點的距離。

例如：

• |5| = 5，表示從原點到 5 的距離為 5。
• |-5| = 5，表示從原點到 -5 的距離也是 5。

代數性質

絕對值函數具有以下代數性質：

1. 非負性

|x| ≥ 0，對于所有的 x。

2. 線性性

|ax| = |a||x|，對于任意實數 a 和 x。

證明：當 a ≥ 0 時，|ax| = |a||x|。當 a < 0 時，|ax| = |-a||x| = |a||x|。

3. 三角不等式

|x + y| ≤ |x| + |y|，對于所有的 x 和 y。

證明：當 x ≥ 0 和 y ≥ 0 時，|x + y| = x + y = |x| + |y|。當 x < 0 和 y < 0 時，|x + y| = -(x + y) = -x - y = |x| + |y|。當 x ≥ 0 和 y < 0 時，|x + y| = x - y ≤ x + y = |x| + |y|。當 x < 0 和 y ≥ 0 時，|x + y| = y - x ≤ x + y = |x| + |y|。

4. 相等性

僅當 x = 0 時，才有 |x| = 0。

證明：當 x ≥ 0 時，|x| = x ≠ 0。當 x < 0 時，|x| = -x ≠ 0。

5. 反證

-|x| ≤ 0，對于所有的 x。

證明：當 x ≥ 0 時，-|x| = -x ≤ 0。當 x < 0 時，-|x| = x > 0。

應用

絕對值函數在數學和科學中有著廣泛的應用，包括：

• 求解方程和不等式
• 計算距離和長度
• 建模周期性現象
• 求解最小值和最大值

結論

絕對值函數是一個基本而重要的數學概念，它具有獨特的幾何詮釋和代數性質。理解這些性質對于解決數學問題和應用絕對值函數至關重要。

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