求最大公約數（Greatest Common Divisor，GCD）是計算機科學中一個常見的問題。本文將介紹一種高效且巧妙的C語言算法，稱為歐幾里德算法，用于計算兩個整數的最大公約數。

歐幾里德算法

歐幾里德算法是一種基于以下原理的遞歸算法：

• 兩個整數的最大公約數等于較小整數和兩整數之差的最大公約數。

• 兩個整數相等時，最大公約數等于這兩個整數本身。

算法的遞歸實現如下：

```cint gcd(int a, int b) {if (b == 0O(log min(a, b))，其中 min(a, b) 表示 a 和 b 中的較小者。這是因為算法在每次遞歸調用中至少將 b 減少一半。因此，遞歸調用次數不會超過 log min(a, b) 。每次遞歸調用需要恒定的時間，因此總體時間復雜度為O(log min(a, b))。

示例

為了更好地理解算法，讓我們考慮一個示例，計算12和18的最大公約數：

```gcd(12, 18)gcd(18, 12 % 18) // 12 % 18 = 12gcd(12, 12) // 12 % 12 = 0return 12```

因此，12和18的最大公約數為12。

結論

歐幾里德算法是一種高效且巧妙的算法，用于計算兩個整數的最大公約數。其遞歸實現簡單明了，時間復雜度為O(log min(a, b))。這種算法在計算機科學中廣泛應用，包括密碼學、整數分解和數學建模。

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