簡介

最大公約數 (GCD) 是兩個或多個整數的最大公因子。最小公倍數 (LCM) 是這些整數的最小公倍數。在許多算法和數學問題中，求解 GCD 和 LCM 是至關重要的。本文將全面解析 C 語言中求解 GCD 的算法。

歐幾里得算法

歐幾里得算法是一種遞歸算法，用于求解兩個非負整數的最大公約數。其核心思路是利用以下定理：定理： 兩個正整數 a 和 b 的最大公約數 (gcd(a, b)) 等于 a 除以 b 的余數 gcd(b, a mod b)。算法步驟：1. 如果 b 為 0，則返回 a，這是這兩個數的最大公約數。 2. 否則，將 b 賦值為 a 除以 b 的余數 (a % b)。 3. 返回 gcd(b, a % b)。C 代碼實現： c int gcd(int a, int b) {if (b == 0)return a;return gcd(b, a % b); }示例： c int a = 12, b = 18; int gcd_value = gcd(a, b); printf("最大公約數：%d\n", gcd_value); // 輸出：6

擴展歐幾里得算法

擴展歐幾里得算法是歐幾里得算法的擴展，它不僅能求解 GCD，還能求解以下方程的整數解：a x + b y = gcd(a, b)算法步驟：1. 如果 b 為 0，則返回 x = 1，y = 0。 2. 否則，遞歸調用 gcd(b, a mod b)。 3. 設置 t = x，x = y，y = t - (a使它們具有相同數量的尾隨 0while (count_a > count_b) {a >>= 1;count_a--;}while (count_b > count_a) {b >>= 1;count_b--;}// 求解最大公約數while (a != 0) {if ((a & 1) != (b & 1)) {if (a > b)a -= b;elseb -= a;}a >>= 1;b >>= 1;}return b << count_b; }示例： c int a = 1234567890, b = 9876543210; int gcd_value = stein_gcd(a, b); printf("最大公約數：%d\n", gcd_value); // 輸出：10

LCM 求解

有了 GCD，求解 LCM 非常簡單。LCM 可以使用以下公式計算：LCM(a, b) = (a b) / GCD(a, b)

代碼示例

下面是一個完整的 C 代碼示例，演示了 C 語言中求解 GCD 和 LCM 的不同算法： c include // 歐幾里得算法 int gcd_euclidean(int a, int b) {if (b == 0)return a;return gcd_euclidean(b, a % b); }// 擴展歐幾里得算法 struct ExtendedGCD {int x, y, gcd; };ExtendedGCD extended_gcd(int a, int b) {if (b == 0)return {1, 0, a};ExtendedGCD result = extended_gcd(b, a % b);return {result.y, result.x - (a / b) result.y, result.gcd}; }// Stein 算法 int gcd_stein(int a, int b) {int count_a = 0, count_b =和 Stein 算法。這些算法各有優勢，歐幾里得算法簡單

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