克魯斯卡爾算法是一種經典的貪心算法，用于在給定的無向連通圖中尋找最小生成樹。最小生成樹是一組邊，連接圖中所有節點，且總權重最小?？唆斔箍査惴ǖ墓ぷ髟硎?，按邊的權重遞增順序，將邊添加到樹中，直到所有的節點都被連接。

算法步驟

1. 初始化：將每個節點作為單獨的連通分量。
2. 按權重遞增順序排序圖中的所有邊。
3. 依次考慮每一條邊，如果邊連接兩個不同的連通分量，則將該邊添加到樹中并合并這兩個連通分量。
4. 繼續步驟 3，直到圖中所有節點都被連接。

算法實現

下面使用 Python 實現克魯斯卡爾算法：```pythondef find_parent(node, parents):"""Find the parent of a node in the parent array.Args:node: The node to find the parent for.parents: The parent array.Returns:The parent of the node."""if parents[node] == node:return nodeelse:return find_parent(parents[node], parents)def union(node1, node2, parents):"""Union two nodes in the parent array.Args:node1: The first node to union.node2: The second node to union.parents: The parent array."""parent1 = find_parent(node1, parents)parent2 = find_parent(node2, parents)if parent1 != parent2: parents[parent2] = parent1def kruskal(graph):"""Finds the minimum spanning tree of a graph.Args:graph: The graph to find the minimum spanning tree of.Returns:The minimum spanning tree of the graph."""Initialize the parent array.parents = [i for i in range(len(graph))]Sort the edges by weight.edges = [(weight, node1, node2) for node1, node2, weight in graph]edges.sort()Initialize the minimum spanning tree.mst = []Iterate over the edges.for weight, node1, node2 in edges:Check if the nodes are in different connected components.if find_parent(node1, parents) != find_parent(node2, parents):Add the edge to the minimum spanning tree.mst.append((node1, node2, weight))Union the two connected components.union(node1, node2, parents)Return the minimum spanning tree.return mst```

算法復雜度

克魯斯卡爾算法的時間復雜度為 O(E log V)，其中 E 是圖中邊的數量，V 是圖中節點的數量。

應用

克魯斯卡爾算法廣泛用于許多應用中，包括：

• 網絡設計
• 流體網絡優化
• 圖像分割
• 聚類分析

例子

考慮如下無向圖： 使用克魯斯卡爾算法，我們可以找到該圖的最小生成樹： 最小生成樹的權重為 21。

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