---

基本原理

γ 分布是一種連續概率分布，用于描述具有正實隨機變量的各種現象。其概率密度函數 (PDF) 為：

$$f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x}$$

其中：$x$ 是隨機變量$\alpha$ 是形狀參數$\beta$ 是速率參數$\Gamma(\alpha)$ 是伽馬函數

伽馬函數

伽馬函數是定義為：

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^{\alpha - 1} e^{-x} dx$$

對于正整數 $n$，伽馬函數具有以下性質：

$$\Gamma(n) = (n - 1)!$$

γ 分布的性質

γ 分布具有以下性質：

• 均值： $\mu = \frac{\alpha}{\beta}$
• 方差： $\sigma^2 =\frac{\alpha}{\beta^2}$
• 眾數： $x_m = \frac{\alpha - 1}{\beta}$ 對于 $\alpha > 1$，沒有眾數對于 $\alpha \leq 1$
• 偏度： $\gamma_1 = \frac{2}{\sqrt{\alpha}}$

• 峰度： $\gamma_2 = \frac{6}{\alpha}$

高級定理

與 γ 分布相關的幾個高級定理包括：

• 卡方分布： 如果 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是相互獨立的標準正態隨機變量，則 $Q = \sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 具有卡方分布，其自由度為 $n$。
• 指數分布： 如果 $X$ 是具有速率參數 $\lambda$ 的指數分布，則 $Y = \frac{1}{\lambda}X$ 具有形狀參數為 1 的 γ 分布，速率參數為 $\lambda$。
• 伽馬分布的和： 如果 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是相互獨立的具有形狀參數 $\alpha_i$ 和速率參數 $\beta_i$ 的 γ 分布，則 $Y = \sum_{i=1}^{n} X_i$ 具有形狀參數為 $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i$ 和速率參數為 $\beta = \sum_{i=1}^{n} \beta_i$ 的 γ 分布。

應用

γ 分布在各種領域都有應用，包括：

• 連續等待時間的建模
• 金融中風險的建模
• 保險中的索賠大小的建模
• 可靠性工程中的故障時間的建模

結論

γ 分布是一個重要且用途廣泛的概率分布，具有豐富的數學基礎。理解其性質和高級定理對于在實踐中有效使用它至關重要。

---

---

相關標簽： 從基本原理到高級定理、 分布密度函數簡寫、 γ、 分布密度函數的數學基礎、

上一篇：揭秘γ分布密度函數的性質從形狀到中心趨勢

下一篇：探索γ分布密度函數的應用領域從金融到工程